【题目】(选修4﹣1:几何证明选讲)
如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于D.
(1)证明:DB=DC;
(2)设圆的半径为1,BC= ,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.
【答案】
(1)证明:连接DE交BC于点G.
由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE,而∠ABE=∠CBE,
∴∠CBE=∠BCE,BE=CE.
又∵DB⊥BE,∴DE为⊙O的直径,∠DCE=90°.
∴△DBE≌△DCE,∴DC=DB.
(2)证明:由(1)可知:∠CDE=∠BDE,DB=DC.
故DG是BC的垂直平分线,∴BG= .
设DE的中点为O,连接BO,则∠BOG=60°.
从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°.
∴CF⊥BF.
∴Rt△BCF的外接圆的半径= .
【解析】(1)连接DE交BC于点G,由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE,由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE,于是得到∠CBE=∠BCE,BE=CE.由已知DB⊥BE,可知DE为⊙O的直径,Rt△DBE≌Rt△DCE,利用三角形全等的性质即可得到DC=DB.(2)由(1)可知:DG是BC的垂直平分线,即可得到BG= .设DE的中点为O,连接BO,可得∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°.得到CF⊥BF.进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=
.
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【题目】对于函数,下列命题:①
时,
为奇函数;②
的图象关于
中心对称;③
,
时,方程
只有一个实根;④方程
至多有两个实根,其中正确的个数有
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】上海自贸区某种进口产品的关税税率为,其市场价格
(单位:千元,
与市场供应量
(单位:万件)之间近似满足关系式:
.
(1)请将表示为关于
的函数,并根据下列条件计算:若市场价格为7千元,则市场供应量约为2万件.试确定
的值;
(2)当时,经调查,市场需求量
(单位:万件)与市场价格
近似满足关系式:
.为保证市场供应量不低于市场需求量,试求市场价格
的取值范围.
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【题目】(2015·湖南)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖,求下列问题:(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为 X ,求 X 的分布列和数学期望.
(1)(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率
(2)(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为 , 求
的分布列和数学期望.
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【题目】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一个人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是 ,乙每轮猜对的概率是
;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响.各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:
(1)“星队”至少猜对3个成语的概率;
(2)“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.
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【题目】已知函数在区间
上的最大值为4,最小值为1.
(1)求实数、
的值;
(2)记,若
在
上是单调函数,求实数
的取值范围;
(3)对于函数,用
,1,2,
,
,
将区间
任意划分成
个小区间,若存在常数
,使得和式
对任意的划分恒成立,则称函数
为
上的有界变差函数.记
,试判断函数
是否为在
上的有界变差函数?若是,求
的最小值;若不是,请说明理由.
(参考公式:
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【题目】在直角坐标系中 中,已知曲线
经过点
,其参数方程为
(
为参数),以原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线 的极坐标方程;
(2)若直线 交
于点
,且
,求证:
为定值,并求出这个定值.
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【题目】若对于定义在上的函数
,其图象是连续不断的,且存在常数
使得
对任意实数
都成立,则称
是一个“
特征函数”.下列结论中正确的个数为( )
①是常数函数中唯一的“
特征函数”;
②不是“
特征函数”;
③“特征函数”至少有一个零点;
④是一个“
特征函数”.
A.1B.2C.3D.4
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2=
,且直线l经过曲线C的左焦点F. ( I )求直线l的普通方程;
(Ⅱ)设曲线C的内接矩形的周长为L,求L的最大值.
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