【题目】已知函数f(x)=2cos( ﹣x)sinx+(sinx+cosx)2 .
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移 个单位,得到函数y=g(x)的图象,求 的值.
【答案】
(1)解:函数f(x)=2cos( ﹣x)sinx+(sinx+cosx)2.
化简得:f(x)=2sinxsinx+1+2sinxcosx
=2sin2x+sin2x+1
=2( cos2x)+sin2x+1
= sin(2x﹣ )+2
由正弦函数的图象及性质.
可得:2x﹣ ∈[ , ]是单调增区间,即 ≤2x﹣ ≤ ,k∈Z.
解得: ≤x≤ ,
所以:函数f(x)的单调递增区间是[ , ],(k∈Z)
(2)解:由(1)可得f(x)= sin(2x﹣ )+2,把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y= sin(x﹣ )+2的图象,再把得到的图象向左平移 个单位,得到g(x)= sin(x+ )+2的图象.
∴ = sin( )+2= sin +2=3
所以 的值为:3
【解析】(1)将函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式,将内层函数看作整体,放到正弦函数的增区间上,解不等式得函数的单调递增区间;(2)根据三角函数的图象平移变换规律,求出g(x)的解析式,在求 的值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换的相关知识,掌握图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数的图象;再将函数的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象;再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变),得到函数的图象.
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【题目】已知函数y=f(2x+1)定义域是[﹣1,0],则y=f(x+1)的定义域是( )
A.[﹣1,1]
B.[0,2]
C.[﹣2,0]
D.[﹣2,2]
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【题目】若函数exf(x)(e≈2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为 .
①f(x)=2﹣x②f(x)=3﹣x③f(x)=x3④f(x)=x2+2.
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【题目】设等差数列{an}的前n项和为Sn , ,若 ,且S11=143,数列{bn}的前n项和为Tn , 且满足 .
(1)求数列{an}的通项公式及数列 的前n项和Mn
(2)是否存在非零实数λ,使得数列{bn}为等比数列?并说明理由.
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【题目】有甲乙两个班级进行数学考试,按照大于等于85分为优秀,85分以下为非优秀统计成绩后,得到如下的列联表.
优秀 | 非优秀 | 总计 | |
甲班 | 10 | ||
乙班 | 30 | ||
合计 | 105 |
已知在全部105人中随机抽取一人为优秀的概率为.
(1)请完成上面的列联表;
(2)根据列联表的数据,若按97.5%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”;
(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人:把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到10或11号的概率.
参考公式和数据:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
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【题目】如图,已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为4的正三角形,B,E,F分别是AA1 , CC1的中点,且BE⊥B1F.
(1)求证:B1F⊥EC1;
(2)求二面角C1﹣BE﹣C的余弦值.
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【题目】某单位员工人参加“学雷锋”志愿活动,按年龄分组:第组,第组,第组,第组,第组,得到的频率分布直方图如图所示.
(1)下表是年龄的频率分布表,求正整数的值;
区间 | |||||
人数 |
(2)现在要从年龄较小的第组中用分层抽样的方法抽取人,年龄在第组抽取的员工的人数分别是多少?
(3)在(2)的前提下,从这人中随机抽取人参加社区宣传交流活动,求至少有人年龄在第组的概率.
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