Question

6．已知抛物线E：y²=2px（p＞0）上一点M（x₀，4）到交点F的距离|MF|=$\frac{5}{4}$x₀．
（1）求E的方程；
（2）过F的直线l与E相交于A、B两点，AB的垂直平分线l′与E相较于C、D两点，若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=0，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设抛物线E：y²=2px（p＞0）上一点M（x₀，4）到焦点F的距离|MF|=$\frac{5}{4}$x₀．x₀+$\frac{p}{2}$=$\frac{5}{4}$x₀，16=2px₀，求得 p的值，可得C的方程．
（2）设l的方程为 x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|CD|．由于CD垂直平分线段AB，故ACBD四点共圆等价于|AE|=|BE|=$\frac{1}{2}$|CD|，由此求得m的值，可得直线l的方程．

解答 解：（1）∵抛物线E：y²=2px（p＞0）上一点M（x₀，4）到焦点F的距离|MF|=$\frac{5}{4}$x₀．
∴x₀+$\frac{p}{2}$=$\frac{5}{4}$x₀，16=2px₀，
∴p=2，
∴E的方程为y²=4x；
（2）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y²=4x的焦点F（1，0），
设l的方程为 x=my+1（m≠0），
代入抛物线方程可得y²-4my-4=0，显然判别式△=16m²+16＞0，y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4．
∴AB的中点坐标为D（2m²+1，2m），弦长|AB|=$\sqrt{{m}^{2}+1}$|y₁-y₂|=4（m²+1）．
又直线l′的斜率为-m，∴直线l′的方程为 x=-$\frac{1}{m}$y+2m²+3．
过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于C，D两点，
把线l′的方程代入抛物线方程可得 y²+$\frac{4}{m}$y-4（2m²+3）=0，∴y₃+y₄=-$\frac{4}{m}$，y₃•y₄=-4（2m²+3）．
故线段CD的中点E的坐标为（$\frac{2}{{m}^{2}}$+2m²+3，-$\frac{2}{m}$），∴|CD|=$\sqrt{1+\frac{1}{{m}^{2}}}$|y₃-y₄|=$\frac{4（{m}^{2}+1）\sqrt{2{m}^{2}+1}}{{m}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=0，故ACBD四点共圆等价于|AE|=|BE|=$\frac{1}{2}$|CD|，
∴$\frac{1}{4}$AB²+DE²=$\frac{1}{4}$CD²，
∴4（m²+1）² +$（2m+\frac{2}{m}）^{2}+（\frac{2}{{m}^{2}}+2）^{2}$=$\frac{1}{4}$×（$\frac{4（{m}^{2}+1）\sqrt{2{m}^{2}+1}}{{m}^{2}}$）²，化简可得 m²-1=0，
∴m=±1，∴直线l的方程为 x-y-1=0，或 x+y-1=0．

点评 本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．