Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D在BC上，AD⊥C₁D，
（1）求证：AD⊥面BCC₁B₁．
（2）如果AB=AC，点E是B₁C₁的中点，求证：A₁E∥平面ADC₁．

Answer 1

证明：（1）∵棱柱ABC-A₁B₁C₁为三棱柱
∴CC₁⊥平面ABC
又∵AD?平面ABC
∴CC₁⊥AD
又∵AD⊥C₁D，C₁D∩CC₁=C₁，
∴AD⊥面BCC₁B₁．
（2）连接DE，
∵AB=AC，
∴D为BC的中点，又由E是B₁C₁的中点，
∴DE∥A₁A且DE=A₁A
∴四边形A₁ADE为平行四边形
∴A₁E∥AD
又∵A₁E?平面ADC₁．AD?平面ADC₁．
∴A₁E∥平面ADC₁．
分析：（1）由已知中直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D在BC上，AD⊥C₁D，我们根据直三棱柱的几何特征，结合线面垂直的判定定理，易得到AD⊥面BCC₁B₁．
（2）由已知中AD⊥C₁D，AB=AC，点E是B₁C₁的中点，我们易判断四边形A₁ADE为平行四边形，进而得到A₁E∥AD，再由线面平行的判定定理，即可得到A₁E∥平面ADC₁．
点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间中直线与平面平行或垂直的判定定理，及直三棱柱的几何特征是解答本题的关键．