Question

（1）一个矩形的面积为8，如果此矩形的对角线长为y，一边长为x，试把y表示成x的函数．
（2）证明：函数f（x）=x²+1是偶函数，且在[0，+∞）上是增函数．

Answer 1

解：（1）如图，
则：
（x＞0）
（2）证明：∵f（-x）=（-x）²+1=x²+1=f（x），∴函数f（x）=x²+1是偶函数，
作取x₁，x₂∈[0，+∞），令x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=x₁²-x₂²=（x₁-x₂）（x₁+x₂）
∵x₁，x₂∈[0，+∞），令x₁＜x₂
∴x₁-x₂0
∴f（x₁）-f（x₂）=x₁²-x₂²=（x₁-x₂）（x₁+x₂）＜0
故函数在[0，+∞）上是增函数．
综上，函数f（x）=x²+1是偶函数，且在[0，+∞）上是增函数．
分析：（1）如图，先求出另一边，再用勾股定理建立等式，表示出y．
（2）用定义证明即可．由函数的解析知，可通过验证（-x）=f（x）证明函数是偶函数；用增函数的定义证明函数在在[0，+∞）上是增函数．
点评：本题考查函数奇偶性的证明与函数单调性的证明，以及根据几何图形建立函数关系，求解本题关键是掌握函数奇偶性与单调性的证明方法．