Question

已知函数f（x）=x²+2aln（1-x）（a∈R），g（x）=f（x）-x²+x．
（1）当a=

1

2

时，求函数g（x）的单调区间和极值；
（2）若f（x）在[-1，1）上是单调函数，求实数a的取值范围；
（3）若数列{a_n}满足a₁=1，且（n+1）a_n+1=na_n，S_n为数列{a_n}的前n项和，求证：当n≥2时，S_n＜1+lnn．

Answer 1

分析：（1）利用导数来求，函数g（x）的单调增区间上导数大于0，减区间上导数小于0，极值点处导数等于0，所以只需求导，在判断导数何时等于0，何时大于0，何时小于0即可．
（2）若f（x）在[-1，1）上是单调函数，则[-1，1）必为函数某一单调区间的子区间，先带着参数a求函数的单调区间，再比较[-1，1）区间端点与函数的几个单调区间的端点大小，即可得到a的范围．
（3）先根据数列{a_n}递推关系式，用累乘法求出数列{a_n}的通项公式，再借助导数，用放缩法证明当n≥2时，S_n＜1+lnn即可．

解答：解：（1）f（x）=ln（1-x）+x，定义域为（-∞，1），g′(x)=1-

1

1-x

，令g'（x）=0得x=0，
可以列表，也可以直接研究g'（x）的正负，得g（x）的单调递增区间为（-∞，0）；
单调递减区间为（0，1）；x=0时g（x）有极大值0．
（2）f′(x)=2x-

2a

1-x

，若f'（x）≥0，即2x-

2a

1-x

≥0⇒a≤[x（1-x）]_min⇒a≤-2，
若f'（x）≤0，即2x-

2a

1-x

≤0⇒a≥[x(1-x)]max⇒a≥

1

4

，
所以a≤-2或a≥

1

4

．
（3）证明：由（n+1）a_n+1=na_n，用累乘法得an=

1

n

，
由（1）知当x∈（0，1）时g'（x）＜0又g（0）=0，得g（x）=ln（1-x）+x＜g（0）=0，得x＜-ln（1-x）*n≥2⇒

1

n

∈(0，1)，x=

1

n

代入*得

1

n

＜ln

n

n-1

Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜1+ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

=1+ln(

2

1

×

3

2

×…×

n

n-1

)=1+lnn，
所以当n≥2时，S_n＜1+lnn．…（14分）

点评：本题考查了应用导数求极值，单调区间，以及导数和数列的综合应用．