Question

【题目】为了回馈顾客，某商场在元旦期间举行购物抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 ，中奖可以获得3分；方案乙的中奖率为 ，中奖可以获得2分；未中奖则不得分，每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，抽奖结束后凭分数兑换奖品．
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≥3的概率；
（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，分别求两种方案下小明、小红累计得分的分布列，并指出为了累计得分较大，两种方案下他们选择何种方案较好，并给出理由？

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，且两人中奖与否互不影响，

记“这两人的累计得分X≥3”的事件为A，则事件A包含“X=3”、“X=5”2个互斥的事件，

∴X≥3的概率P（X≥3）=P（X=3）+P（X=5）= =

（2）解：设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，则X1的所有可能的取值为0，3，6，

则X1的分布列为：

X1	0	3	6
P

E（X1）= = ．

都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X2的所有可能取值为0，2，4，

则X2的分布列为：

X2	0	2	4
P

E（X2）= =3，

∵E（X1）＞E（X2），∴他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大

【解析】（1）由已知得小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，且两人中奖与否互不影响，记“这两人的累计得分X≥3”的事件为A，则事件A包含“X=3”、“X=5”2个互斥的事件，由此能求出X≥3的概率．（2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，则X1的所有可能的取值为0，3，6，求出X1的分布列和E（X1）；都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X2的所有可能取值为0，2，4，求出X2的分布列和E（X2），从而得到E（X1）＞E（X2），进而得到他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用离散型随机变量及其分布列的相关知识可以得问题的答案，需要掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．