Question

【题目】已知是椭圆的左、右顶点，为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点（点在第一象限），线段与圆相切于点，且点为线段的中点.

（1）求线段的长；

（2）求椭圆的离心率；

（3）设直线交椭圆于两点（其中点在第一象限），过点作的平行线交椭圆于点，交于点，求.

Answer 1

【答案】（1）2b; （2）; （3）.

【解析】

（1）由OQ为△的中位线，直接得解；

（2）由椭圆的定义结合直角三角形的勾股数建立a，b的方程，解得a，b的关系，从而可得离心率.

（3）由（2）可知及椭圆方程可设为，(t>0),联立直线OQ的方程与椭圆方程求得M、N坐标，再联立的方程与椭圆方程得到D坐标，从而可得直线BD的方程，再与直线OQ的方程联立，解得，利用面积比转化为线段比可得结果.

（1）连接OQ，，如图，OQ为△的中位线，由题意知OQ=b，则=2b.

（2）由椭圆的定义结合（1）可得，，

则，得，解得，

则，故椭圆的离心率为.

（3）由（2）可知,设直线OQ的方程为x＝2y，椭圆方程设为，(t>0),

由得25y2＝，得到，，

又点作的平行线的方程设为x＝2y-3t，

由得4（2y-3t）2＝，即25-48ty=0，

解得y=0或y=，即D（），又B（3t，0）

∴直线BD的方程为y=，与联立，解得，

由三角形的面积公式得==.