Question

设n阶方阵An=

1 3 5 … 2n-1 2n+1 2n+3 2n+5 … 4n-1 4n+1 4n+3 4n+5 … 6n-1 … … … … … 2n(n-1)+1 2n(n-1)+3 2n(n-1)+5 … 2n2-1

任取A_n中的一个元素，记为x₁；划去x₁所在行与列，将剩下的元素按原来的位置关系组成n-1阶方阵A_n-1，任取A_n-1中一个元素，记为x₂，划去x₂所在行与列，…将最后剩下的一个元素记为x_n，记S_n=x₁+x₂+…+x_n，
若n=3时，则S₃=

 

，若n=k时，则S_k=

 

．

Answer 1

分析：根据题意可知：令n=3得到三阶矩阵，从中任取一元素得x₁，划去x₁所在的行和列得到二阶矩阵得到x₂，划去x₂所在的行和列得到x₃，求出之和即可．利用找规律的方法总结出当n=k时S_k的值．

解答：解：当n=3时，A₃=

.

1    3 5 7    9 11 13  15 17

.

则任取A₃中的元素1，划去1所在的行和列得到二阶方阵，则x₁=1；
在二阶方阵

.

9 11 15 17

.

中任取一个元素11，划去11所在的行和列则x₂=11，
最后剩下15则x₃=15，∴S₃=x₁+x₂+x₃=1+11+15=27=3³；
则当n=k时，根据规律法得到S_k=k³．
故答案为：27；k³．

点评：本题考查对高阶矩阵中元素的准确认识，以及会用归纳总结得出一般结论的方法．