【题目】已知公差不为0的等差数列{an}中,a1 , a3 , a7成等比数列,且a2n=2an﹣1,等比数列{bn}满足bn+bn+1= .
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)令cn=anbn , 求数列{cn}的前n项和Tn .
【答案】
(1)解:∵公差d不为0的等差数列{an}中,a1,a3,a7成等比数列,且a2n=2an﹣1,
∴ =a1(a1+6d),a2=2a1﹣1=a1+d,
联立解得:a1=2,d=1.
∴an=2+(n﹣1)=n+1.
等比数列{bn}满足bn+bn+1= .
∴b1+b1q= , = ,
联立解得q= =b1,
∴bn= .
(2)cn=anbn=(n+1) .
∴数列{cn}的前n项和Tn= + +…+(n+1) .
∴ =2× +…+n +(n+1) ,
∴ Tn= +…+ ﹣(n+1) = ﹣(n+1) ,
可得:Tn= ﹣ .
【解析】(1)结合等比和等差数列的定义可求出数列{an}的通项公式再根据已知可得出等比数列的通项公式。(2)由已知的数列的通项公式,等式两边同时乘以公比整理可得到结果。
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点,需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题.
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【题目】已知椭圆E: 的离心率为 ,F1 , F2分别是它的左、右焦点,且存在直线l,使F1 , F2关于l的对称点恰好为圆C:x2+y2﹣4mx﹣2my+5m2﹣4=0(m∈R,m≠0)的一条直径的两个端点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设直线l与抛物线y2=2px(p>0)相交于A,B两点,射线F1A,F1B与椭圆E分别相交于点M,N,试探究:是否存在数集D,当且仅当p∈D时,总存在m,使点F1在以线段MN为直径的圆内?若存在,求出数集D;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,正四面体ABCD的顶点C在平面α内,且直线BC与平面α所成角为15°,顶点B在平面α上的射影为点O,当顶点A与点O的距离最大时,直线CD与平面α所成角的正弦值为 .
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【题目】将函数 的图象向右平移 个单位,再把所有的点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,则图象y=g(x)的一个对称中心为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】在直角坐标系中,椭圆C1: 的左、右焦点分别为F1 , F2 , 其中F2也是抛物线C2:y2=4x的焦点,点P为C1与C2在第一象限的交点,且 .
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过F2且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于M、N两点,若线段OF2上存在定点T(t,0)使得以TM、TN为邻边的四边形是菱形,求t的取值范围.
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【题目】公比为q(q≠1)的等比数列a1 , a2 , a3 , a4 , 若删去其中的某一项后,剩余的三项(不改变原有顺序)成等差数列,则所有满足条件的q的取值的代数和为 .
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