Question

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．直线l的参数方程为

x=1+cosα•t y=sinα•t

(t为参数，α为直线l的倾斜角），曲线C的极坐标方程为ρ²-10ρcosθ+17=0．
（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；
（Ⅱ）当α=

π

6

时，设P（1，0），若直线l与曲线C有两个交点是A，B，求|PA||PB|的值；并求|AB|的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程化为普通方程，直线l的参数方程代入圆的方程化简后记作①，因为直线l与曲线C有公共点，所以得到①中方程的△大于等于0列出关于cosα的关系式，求出不等式的解集即可得到cosα的范围，根据α为直线l的倾斜角得到α的范围，利用余弦函数的图象及特殊角的三角函数值即可求出α的范围；
（Ⅱ）设出A和B对应的参数分别为t₁，t₂，由①知当α等于

π

6

时，将①化为关于t的一元二次方程，利用韦达定理即可求出|AB|的长和|PA||PB|的值．

解答：解：（Ⅰ）圆的普通方程为x²-10x+y²+17=0，
将直线l的参数方程代入得：t²-8tcosα+8=0，①．
△=（8cosα）²-32≥0，
∴cos2α≥

1

2

又α为直线l的倾斜角，
∴

2

2

≤cosα≤1或-1＜cosα≤-

2

2

，
所以α∈[0，

π

4

]∪[

3π

4

，π)；
（Ⅱ）设A，B两点对应的参数分别为t₁，t₂，由①知当α=

π

6

时，
将①化为t2-4

3

•t+8=0，t1+t2=4

3

，t1t2=8，
|AB|=|t1-t2|=

(t1+t2)2-4t1t

2=4，
|PA||PB|=|t₁•t₂|=8．

点评：此题考查学生会将圆的方程化为普通方程，掌握余弦函数的图象和性质，灵活运用韦达定理化简求值，是一道综合题．