Question

已知f(x)=lnx，g(x)=

1

2

ax2+3x+1，
（Ⅰ）若函数h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=-1时，求证：x≤e^g（x）-2在x∈[

1

2

，

5

2

]成立
（Ⅲ）求f（x）-x的最大值，并证明当n＞2，n∈N^*时，log2e+log3e+log4e…+logne＞

3n2-n-2

2n(n+1)

（e为自然对数lnx的底数）

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数h(x)=lnx-

1

2

ax2-3x-1，函数h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，等价于h/(x)=

1

x

-ax-3=

-ax2-3x+1

x

＜0在（0，+∞）上有解，即ax²+3x-1＞0在（0，+∞）上有解，再利用分离参数法，即可求得a的范围；
（Ⅱ）原不等式即为f（x）＜g（x）-2，构造函数φ（x）=f（x）-g（x）+2，可确定φ（x）单调递增，从而原不等式得证；
（Ⅲ）根据logxe=

1

lnx

，令m（x）=f（x）-x=lnx-x，利用导数可知函数m（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，从而可得f（x）-x的最大值为-1，进而可得lnx≤-1+x，再利用放缩法即可证得．

解答：（Ⅰ）解：函数h(x)=lnx-

1

2

ax2-3x-1
所以h′(x)=

1

x

-ax-3=

-ax2-3x+1

x

＜0在（0，+∞）上有解，
即ax²+3x-1＞0在（0，+∞）上有解，由ax²+3x-1＞0得a＞

1-3x

x2

=(

1

x

)2-3(

1

x

)
因为当x＞0，(

1

x

)2-3(

1

x

)≥-

9

4

所以a的范围是(-

9

4

，+∞)…（4分）
（Ⅱ）证明：原不等式即为f（x）＜g（x）-2，构造函数φ（x）=f（x）-g（x）+2
∴φ(x)=lnx+

1

2

x2-3x+1∴φ′(x)=

1

x

+x-3，
∴φ′(x)=

1

x

+x-3＜0对于x∈[

1

2

，

5

2

]恒成立，
∴φ（x）单调递增
∴φ(x)max=φ(

1

2

)=ln

1

2

+

1

8

-

3

2

+1＜0
∴f（x）＜g（x）-2
∴x≤e^g（x）-2在x∈[

1

2

，

5

2

]成立，原不等式得证            …（9分）
（Ⅲ）解：∵logxe=

1

lnx

，令m（x）=f（x）-x=lnx-x，
∴m′ (x)=

1

x

-1=

1-x

x

所以函数m（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
所以m（x）≤m（1），即f（x）-x的最大值为-1
证明：由m（x）≤m（1）得lnx≤-1+x
∴

1

lnn

＞

1

n-1

＞

2

(n-1)(n+1)

=

1

n-1

-

1

n+1

(n＞2)，
∴log2e+log3e+log4e…+logne=

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

lnn

＞1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)=1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

=

3n2-n-2

2n(n+1)

…（14分）

点评：本题重点考查导数知识的运用，考查利用导数研究函数的单调性，证明不等式，考查放缩法的运用，综合性比较强．