Question

已知函数f(x)=cos2(x+

π

3

)-

1

2

，g(x)=

1

2

sin(2x+

2π

3

)
（1）要得到y=f（x）的图象，只需把y=g（x）的图象经过怎样的变换？
（2）设h（x）=f（x）-g（x），求①函数h（x）的最大值及对应的x的值；②函数h（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：先对函数的解析式用余弦的二倍角公式化简，可变为f(x)=

1

2

cos(2x+

2π

3

)
（1）观察两个函数的解析式，易得将y=g（x）的图象向左平移

π

4

个单位得到y=f（x）的图象；
（2）先求出h（x）=f（x）-g（x）的解析式，化简得h（x）=

2?

2

cos(2x+

11π

12

)
①由余弦函数的性质求出函数h（x）的最大值及对应的x的值
②由余弦函数的性质令2kπ-π≤2x+

11π

12

≤2kπ，解出x的取值范围即可得到函数的增区间．

解答：解：f(x)=

1+cos(2x+ 2π 3 )

2

-

1

2

=

1

2

cos(2x+

2π

3

)
（1）∵f(x)=

1

2

cos(2x+

2π

3

)=

1

2

sin[2(x+

π

4

)+

2π

3

]
∴将y=g（x）的图象向左平移

π

4

个单位得到y=f（x）的图象．
（2）h(x)=f(x)-g(x)=

1

2

cos(2x+

2π

3

)-

1

2

sin(2x+

2π

3

)
=

2?

2

cos(2x+

2π

3

+

π

4

)=

2?

2

cos(2x+

11π

12

)
①∴h(x)max=

2

2

．当2x+

11π

12

=2kπ即x=kπ-

11π

24

(k∈Z)时取最大值．
②由2kπ-π≤2x+

11π

12

≤2kπ，∴kπ-

23π

24

≤x≤kπ-

11π

24

，
所以递增区间为[kπ-

23π

24

，kπ-

11π

24

]．

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，解答本题关键是掌握三角恒等变换公式对三角函数的解析式进行化简，然后再由余弦函数的性质求打三角函数的最值及求三角函数的单调区间．