Question

【题目】已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanA，tanB是关于x的方程x2+（1+p）x+p+2=0的两个根，c=4．
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC面积的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵tanA，tanB是关于x的方程x2+（1+p）x+p+2=0的两个根，

∴tanA+tanB=﹣1﹣p，tanAtanB=p+2，

∴tan（A+B）= = =1，

∴在△ABC中，A+B= ，

∴C=

（2）解：∵C= ，c=4，c2=a2+b2﹣2abcosC，

∴42=a2+b2﹣2ab×（﹣ ），整理可得：16﹣ =a2+b2，

又∵a＞0，b＞0，

∴16﹣ =a2+b2≥2ab，可得：ab≤ ，当且仅当a=b时取等号，

∴S△ABC= absinC= ab× ≤ × = =4 ﹣4，

∴△ABC的面积的取值范围为（0，4 ﹣4）

【解析】（1）由已知可得tanA+tanB=﹣1﹣p，tanAtanB=p+2，利用两角和的正切函数公式可求tan（A+B）=1，可求A+B= ，利用三角形内角和定理可求C的值．（2）由已知及余弦定理可求16﹣ =a2+b2，结合基本不等式可得ab≤ ，当且仅当a=b时取等号，利用三角形面积公式即可得解．
【考点精析】本题主要考查了两角和与差的正切公式和余弦定理的定义的相关知识点，需要掌握两角和与差的正切公式：；余弦定理:;;才能正确解答此题．