Question

已知斜率为1的直线l与双曲线C：（a＞0，b＞0）相交于B、D两点，且BD的中点为M(1，3)，
(Ⅰ)求C的离心率；
(Ⅱ)设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切。

Answer 1

解：(Ⅰ)由题设知，l的方程为：y=x+2，
化入C的方程，并化简，得(b²-a²)x²-4a²x-4a²-a²b²=0，
设B（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），
则，①
由M(1，3)为BD的中点知，
故，即b²=3a²，②
故，所以C的离心率。
(Ⅱ)由①、②知，C的方程为：3x²-y²=3a²，
A(a，0)，F(2a，0)，x₁+x₂=2，x₁·x₂=，
故不妨设x₁≤-a，x₂≥a，
，
，
|BF|·|FD|=(a-2x₁)(2x₂-a)=-4x₁x₂+2a(x₁+x₂)-a²=5a²+4a+8，
又|BF|·|FD|=17，
故5a²+4a+8=17，解得a=1或a=（舍去），
故，
连结MA，则由A(1，0)，M(1，3)知|MA|=3，
从而MA=MB=MD，
且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切．
所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．