Question

【题目】已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（0）=﹣1，对任意x∈R都有f（x）≥x﹣1，且f（﹣ +x）=f（﹣ ﹣x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）是否存在实数a，使函数g（x）=log [f（a）]x在（﹣∞，+∞）上为减函数？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=ax2+bx+c（a≠0）及f（0）=﹣1∴c=﹣1

又对任意x∈R，有 ．

∴f（x）图象的对称轴为直线x=﹣ ，则﹣ =﹣ ，∴a=b

又对任意x∈R都有f（x）≥x﹣1，

即ax2+（b﹣1）x≥0对任意x∈R成立，

∴ ，故a=b=1∴f（x）=x2+x﹣1

（2）解：由（1）知 = （a2+a﹣1）x，其定义域为R

令u（x）=（a2+a﹣1）x

要使函数g（x）= （a2+a﹣1）x在（﹣∞，+∞）上为减函数，

只需函数u（x）=（a2+a﹣1）x在（﹣∞，+∞）上为增函数，由指数函数的单调性，有a2+a﹣1＞1，解得a＜﹣2或a＞1故存在实数a，当a＜﹣2或a＞1时，函数 在（﹣∞，+∞）上为减函数

【解析】（1）根据f（0）=﹣1可求出c的值，根据 可得a与b的关系，最后根据对任意x∈R都有f（x）≥x﹣1，可求出a与b的值，从而求出函数f（x）的解析式；（2）令u（x）=f（a），要使函数 在（﹣∞，+∞）上为减函数，只需函数u（x）=f（a）在（﹣∞，+∞）上为增函数，由指数函数的单调性可得a的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的函数单调性的判断方法，需要了解单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较才能得出正确答案．