Question

【题目】如图，已知椭圆O： 的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点(与y轴交点除外)，直线PC交椭圆于另一点M.

(1)当直线PM过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；

(2)记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值.

Answer 1

【答案】（1） ，（2）见解析.

【解析】试题分析：

(1)由题知B(0，1)，C(0，－1)， ，满足题意时，直线PM的方程为，与椭圆方程联立可得： ，直线BF的方程为，则三角形的高为，底边，三角形的面积为.

(2)设P(m，－2)，且m≠0，则直线PM的方程为，与椭圆方程联立可得，则，据此可得k1·k2为定值.

试题解析：

(1)由题知B(0，1)，C(0，－1)，焦点F(，0)，

当直线PM过椭圆的右焦点F时，

直线PM的方程为＋＝1，即y＝x－1.

联立解得或 (舍)，所以M.连接BF，则直线BF的方程为＋＝1，

即x＋y－＝0，

而BF＝a＝2，所以点M到直线BF的距离为

d＝＝＝.

故S△MBF＝·BF·d＝×2×＝.

(2)设P(m，－2)，且m≠0，

则直线PM的斜率为k＝＝－，

则直线PM的方程为y＝－x－1，

联立化简得x2＋x＝0，

解得M，

所以k1＝＝＝m，k2＝＝－，

所以k1·k2＝－·m＝－为定值.