Question

【题目】设函数f（x）= ﹣alnx．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间和极值；
（Ⅲ）若函数f（x）在区间（1，e2]内恰有两个零点，试求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，

f（x）= ﹣lnx，f'（x）=x﹣ ，

∵f'（1）=0，f（1）= ，

∴在点（1，f（1））处的切线方程y= ；

（Ⅱ）f'（x）= ，

当a≤0时，f'（x）＞0，f（x）递增，函数无极值；

当a＞0时，在（0， ）时递减，在（ ，+∞）时递增，函数的极小值为f（ ）=0；

（Ⅲ）f（x）= ﹣alnx在区间（1，e2]内恰有两个零点，

∴y= 与y= 在区间（1，e2]内恰有两个交点，

令g（x）= ，g'（x）= ，

g（x）在（0，e）递增，在（e，e2）上递减，

∴g（e）= ，g（e2）= ，

∴ ∈[ ， ），

∴a∈（ ， ]．

【解析】（1）当a=1时，对f（x）求导，根据导函数求出在（1，f（1））的切线斜率，在由点斜式可得到切线方程，（2）对a进行分类讨论，得出f（x）的单调区间和极值，（3）f（x）= ﹣alnx在区间（1，e2]内恰有两个零点，可转化为y= 与y= 在区间（1，e2]内恰有两个交点,求导可得出的范围，从而得到a的范围.