Question

已知，椭圆C过点A，两个焦点为（-1，0），（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意，c=1，可设椭圆方程代入已知条件得，求出b，由此能够求出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得，再点在椭圆上，结合直线的位置关系进行求解．
解答：解：（Ⅰ）由题意，c=1，
可设椭圆方程为，
解得b²=3，（舍去）
所以椭圆方程为．
（Ⅱ）设直线AE方程为：，
代入得
设E（x_E，y_E），F（x_F，y_F），
因为点在椭圆上，
所以，．
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，
在上式中以-K代K，可得，
所以直线EF的斜率
即直线EF的斜率为定值，其值为．
点评：本题综合考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．