Question

【题目】已知椭圆： （ ）的左右焦点分别为， ，离心率为，点在椭圆上， ， ，过与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于， 两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若， 的中点为，在线段上是否存在点，使得？若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.

【解析】【试题分析】（1）依据题设运用余弦定理及已知条件建立方程进行求解；（2）依据题设先建立直线的方程，再运用直线与椭圆的位置关系分析求解：

（Ⅰ）由得， ， ，

由余弦定理得， ，

解得， ， ，

所以椭圆的方程为．　

（Ⅱ）存在这样的点符合题意.

设， ， ，

由，设直线的方程为，

由得，

由韦达定理得，故，

又点在直线上， ，所以.

因为，所以，整理得，

所以存在实数，且的取值范围为．