Question

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）设函数f(x)=lg

a

x2+1

∈M，求a的取值范围；
（2）试确定函数f（x）=2^x+x²是否属于集合M？说明理由．

Answer 1

分析：问题（1）只需通过f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）建立一个关于a的不等式即可；
问题（2）属于函数的封闭运算，注意具体函数与抽象式子之间的联系与运用．

解答：解：(1)f(x)=lg

a

x2+1

∈M?lg

a

(x+1)2+1

=lg

a

x2+1

+lg

a

2

?（a-2）x²+2ax+2（a-1）=0，
当a=2时，x=-

1

2

，当a≠2时，由△≥0                   （2分）
得a2-6a+4≤0?a∈[3-

5

，2)∪(2，3+

5

]．
故a∈[3-

5

，3+

5

]．                            （8分）

(2)∵f(x0+1)-f(x0)-f(1)=2x0+1+(x0+1)2-2x0-x02-3
=2x0+2(x0-1)=2[2x0-1+(x0-1)]，
又∵函数y=2^x+x，在x=0时，y=1；在x=-1时，y=-

1

2

．
∴函数y=2^x+x图象与x轴有交点，不妨设交点的横坐标为a，
则2a+a=0?2x0-1+(x0-1)=0，其中x₀=a+1，（14分）
∴f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），即f（x）=2^x+x²∈M．      （16分）
故函数f（x）=2^x+x²属于集合M．

点评：注意利用对数的运算公式：①log_aM+log_aN=log_aMN②logaM -logaN =loga

M

N