分析 (Ⅰ)由PA⊥平面ABC,得到二面角P-AC-B,P-AB-C都是直二面角,再推导出BC⊥平面PAB,得到A-PB-C是直二面角.
(Ⅱ)以A为顶点,AC,AP所在直线为y轴,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出四面体各表面所成角的二面角中,最小角的余弦值.
解答 解:(Ⅰ)∵PA⊥PA⊥平面ABC,
∴二面角P-AC-B,P-AB-C都是直二面角,
由PA⊥平面ABC,得PA⊥BC,又AB⊥BC,PA∩AB=A,
∴BC⊥平面PAB,
∴A-PB-C是直二面角.
(Ⅱ)由BC⊥平面PAB,得二面角P-BC-A的平面角为∠PBA=45°,
由PA⊥平面ABC得二面角B-PA-C的平面角为∠BAC=60°,
以A为顶点,AC,AP所在直线为y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
则P(0,0,1),B($\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\frac{1}{2}$,0),C(0,2,0),
$\overrightarrow{PB}$=($\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\frac{1}{2}$,-1),$\overrightarrow{PC}$=(0,2,-1),
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=2y-z=0}\end{array}\right.$,取y=1,得$\overrightarrow{n}$=($\sqrt{3},1,2$),
平面PAC的法向量$\overrightarrow{m}$=(1,0,0),
cos<$\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$$<\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴四面体各表面所成角的二面角中,最小角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$.
点评 本题考查直二面角的判断,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\root{n}{{a}^{n}}$=a | B. | ($\frac{n}{m}$)7=n${\;}^{\frac{1}{7}}$m7 | C. | $\root{12}{(-2)^{4}}$=$\root{3}{-2}$ | D. | $\sqrt{\root{3}{9}}$=$\root{3}{3}$ |
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