Question

甲、乙、丙三人按下面的规则进行羽毛球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为0.5，且各局胜负相互独立．
（1）求打满3局比赛还未停止的概率；
（2）理科：求比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望Eξ．
     文科：求比赛停止时已打局数不少于5次的概率．

Answer 1

分析：（1）打满3局比赛还未停止即在三局比赛中没有人连胜两局，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可．
（2）理科：ξ的所有可能值为2，3，4，5，6，分别根据相互独立事件的概率乘法公式求出ξ取每一个值的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式进行求解．
文科：记比赛停止时已打5局为事件M，比赛停止时已打6局为事件N，求出P（M）与P（N）的值，最后根据互斥事件的概率加法公式进行求解．

解答：解：令A_k，B_k，C_k分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜．
（1）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为
P(A1C2B3)+P(B1C2A3)=

1

23

+

1

23

=

1

4

．
【理科】（2）ξ的所有可能值为2，3，4，5，6，且P(ξ=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=

1

22

+

1

22

=

1

2

，
P(ξ=3)=P(A1C2C3)+P(B1C2C3)=

1

23

+

1

23

=

1

4

．
P(ξ=4)=P(A1C2B3B4)+P(B1C2A3A4)=

1

24

+

1

24

=

1

8

．
P(ξ=5)=P(A1C2B3A4A5)+P(B1C2A3B4B5)=

1

25

+

1

25

=

1

16

，
P(ξ=6)=P(A1C2B3A4C5)+P(B1C2A3B4C5)=

1

25

+

1

25

=

1

16

，
故有分布列

ξ	2	3	4	5	6
P	1 2	1 4	1 8	1 16	1 16

从而Eξ=2×

1

2

+3×

1

4

+4×

1

8

+5×

1

16

+6×

1

16

=

47

16

（局）．（10分）
【文科】记比赛停止时已打5局为事件M，比赛停止时已打6局为事件N，那么有
P（M）=P(ξ=5)=P(A1C2B3A4A5)+P(B1C2A3B4B5)=

1

25

+

1

25

=

1

16

，（8分）
P（N）=P(ξ=6)=P(A1C2B3A4C5)+P(B1C2A3B4C5)=

1

25

+

1

25

=

1

16

，…（10分）
所以，比赛停止时已打局数不少于5次的概率为

1

8

…（12分）

点评：本题注意考查了互斥、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识解决问题的能力，属于中档题．