Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P、Q分别为对角线BD、CD₁上的点，且

CQ

QD1

=

BP

PD

=

2

3

．
（Ⅰ）求证PQ∥平面A₁D₁DA；
（Ⅱ）若R是AB上的点，当

AR

AB

的值为多少时，能使平面PQR∥平面A₁D₁DA？请给出证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连结CP并延长与DA的延长线交于M点，证明BC∥AD，PQ∥MD₁，又MD₁?平面A₁D₁DA，PQ?平面A₁D₁DA，证明PQ∥平面A₁D₁DA；
（Ⅱ）R是AB上的点，当

AR

AB

的值为

3

5

时，能使平面PQR∥平面A₁D₁DA，通过证明PR∥平面A₁D₁DA，又PQ∩PR=P，PQ∥平面A₁D₁DA．然后证明即可．

解答：（Ⅰ）证明：连结CP并延长与DA的延长线交于M点，
因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，
故△PBC∽△PDM，所以

CP

PM

=

BP

PD

=

2

3

，
又因为

CQ

QD1

=

BP

PD

=

2

3

，所以

CQ

QD1

=

CP

PM

=

2

3

，所以PQ∥MD₁．
又MD₁?平面A₁D₁DA，PQ?平面A₁D₁DA，故PQ∥平面A₁D₁DA．  …（6分）
（Ⅱ）当

AR

AB

的值为

3

5

时，能使平面PQR∥平面A₁D₁DA．
证明：因为

AR

AB

=

3

5

，即有

BR

RA

=

2

3

，故

BR

RA

=

BP

PD

，所以PR∥DA．
又DA?平面A₁D₁DA，PR?平面A₁D₁DA，
所以PR∥平面A₁D₁DA，又PQ∩PR=P，PQ∥平面A₁D₁DA．
所以平面PQR∥平面A₁D₁DA．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定定理，平面与平面平行的判定定理，考查空间想象能力逻辑推理能力．