Question

某中学有5名报考艺术类的考生要乘坐汽车到某大学参加专业测试．学校指派1名教师带队．已知他们6个人的座位恰好位于前后两排，每排有3个座位，哪个人坐哪个座位的概率相等，每位考生专业测试合格的概率等于

2

3

．
（I）求带队教师坐在前排的概率；
（II）假设该中学5名考生恰有r人专业测试合格的概率等于

80

243

，求r的值．

Answer 1

分析：（I）根据座位恰好位于前后两排，每排有3个座位，哪个人坐哪个座位的概率相等，我们易求出5名学生1名老师的不同坐法总数，及教师恰好坐在前排的坐法种数，代入古典概型公式，即可得到带队教师坐在前排的概率；
（II）由已知中每位考生专业测试合格的概率等于

2

3

．则每位考生专业测试不合格概率等于（1-

2

3

）．若5名考生恰有r人专业测试合格，则一定有（5-r）人专业测试不合格，根据相互独立事件概率乘法公式，构造关于r的方程，解方程即可求出r的值．

解答：解：（I）5名学生1名老师的不同坐法共有A₆⁶种；
其中带队教师坐在前排的不同坐标共有C₃¹•A₅⁵种；
故求带队教师坐在前排的概率P=

C 1 3 • A 5 5

A 6 6

=

3•5•4•3•2•1

6•5•4•3•2•1

=

1

2

（II）5名考生恰有r人专业测试合格的概率
P=

C

r 5

•(

2

3

)r•(1-

2

3

)5-r
=

C

r 5

•2r•(

1

3

)5
=

C r 5 •2r

243

=

80

243

解得：r=3 或r=4

点评：本题考查的知识点是等可能事件的概率及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，属于基础题型，但（II）中的方程组解法稍难，可采用代入验证的方法进行求解．