Question

双曲线C的方程为

x2

4

-y²=1，其渐近线为l₁，l₂
（1）设P（x₀，y₀）为双曲线上一点，P到l₁，l₂距离分别为d₁，d₂，求证：d₁d₂为定值
（2）斜率为1的直线l交双曲线C于A，B两点，若

OA

•

OB

=

20

3

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出渐近线方程，根据点到直线的距离公式进行求解P到l₁，l₂距离分别为d₁，d₂，即可证明d₁d₂为定值
（2）联立直线和双曲线的方程，利用削元法，结合向量数量积的公式进行化简即可．

解答： 解：（1）双曲线的渐近线方程为x±2y=0，
P（x₀，y₀）满足

x2

4

-y²=1，即x02-4y02=4，
则d₁d₂=

|x0-2y0|

5

•

|x0+2y0|

5

=

|x02-4y02|

5

=

4

5

，
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=x+m x2-4y2=4

，
 得3x²+8mx+4（m²+1）=0，
则由判别式△＞0，解得m²＞0，
则

x1+x2=- 8m 3 x1x2= 4(m2+1) 3

，
则

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x+（x₁+m）（x₂+m）=2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=m²+

8

3

=

20

3

，
∴m²=4，
解得m=±2，
故直线方程为y=x+2或y=x-2

点评：本题主要考查双曲线的方程和性质，以及直线和圆的位置关系的应用，利用代入消元法转化为一元二次方程是解决本题的关键．