Question

16．若关于x的方程：$\frac{|x|}{x-3}$=kx²有四个不同的实数根．则实数k的取值范围是（-∞，-$\frac{4}{9}$）．

Answer 1

分析 转化为方程$\frac{1}{x-3}$=k|x|有三个不同的实数根，作图象可知k＜0，从而求导，结合图象确定实数k的取值范围．

解答 解：易知x=0是方程$\frac{|x|}{x-3}$=kx²的一个实根，
故方程$\frac{1}{x-3}$=k|x|有三个不同的实数根，
作函数y=$\frac{1}{x-3}$与y=k|x|的图象如下，

结合图象可知，k＜0；
当直线y=kx与y=$\frac{1}{x-3}$相切时，设切点为（a，b）；
∵y′=-$\frac{1}{（x-3）^{2}}$，b=$\frac{1}{a-3}$，
∴-$\frac{1}{（a-3）^{2}}$=$\frac{\frac{1}{a-3}}{a}$，
即a=$\frac{3}{2}$；
此时，k=-$\frac{1}{（\frac{3}{2}-3）^{2}}$=-$\frac{4}{9}$；
故实数k的取值范围是（-∞，-$\frac{4}{9}$）．
故答案为：（-∞，-$\frac{4}{9}$）．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及导数的综合应用．