Question

如图，过抛物线（＞0）的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB。

⑴设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标；

⑵求弦AB中点M的轨迹方程。

 

Answer 1

【答案】

⑴A（，），B（，）。⑵ ，即为M点轨迹的普通方程。

【解析】

试题分析：⑴．∵依题意可知直线OA的斜率存在且不为0

∴设直线OA的方程为（）∴联立方程 

解得   ；以代上式中的，解方程组

解得   ∴A（，），B（，）。 6分

⑵．设AB中点M（x，y），则由中点坐标公式，得

消去参数k，得 ，即为M点轨迹的普通方程。   12

考点：直线与抛物线的位置关系，“参数法”求轨迹方程。

点评：中档题，研究直线与圆锥曲线的位置关系，往往通过建立方程组，应用韦达定理，简化解题过程。“参数法”是求曲线方程的常见方法，通过引入适当的“中间变量”，将动点的坐标相互联系起来。