Question

9．如图，四边形EFGH为四面体A-BCD的一个截面，若截面为平行四边形，
（1）求证：AB∥平面EFGH；
（2）若AB⊥CD，求证：四边形EFGH为矩形．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形性质得EF∥HG，从而EF∥平面ABD，进而EF∥AB，由此能证明AB∥平面EFGH．
（2）推导出CD∥EH，从而∠FEH即是AB和CD所成角，由此能证明平行四边形EFGH为矩形．

解答 证明：（1）∵EFGH为平行四边形，∴EF∥HG，（1分）
∵HG?平面ABD，EF?平面ABD
∴EF∥平面ABD．（3分）
∵EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB．
∴EF∥AB，（5分）
EF?平面EFGH，AB?平面EFGH∴AB∥平面EFGH．（6分）
（2）同理可证：CD∥EH，（7分）
∴∠FEH即是AB和CD所成角 （8分）
∵AB⊥CD，∴∠FEH=90°（9分）
∴平行四边形EFGH为矩形．（10分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查平行四边形为矩形的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．