Question

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和S_n满足S_n（S_n-a_n）+2a_n=0
（Ⅰ）证明数列{

1

Sn

}是等差数列；
（Ⅱ）求S_n和数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）设b n=

Sn

n

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）由已知中数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n（S_n-a_n）+2a_n=0，结合a_n=S_n-S_n-1，可得

1

Sn

-

1

Sn-1

为定值，进而得到数列{

1

Sn

}是等差数列；
（Ⅱ）由（I）可得数列{

1

Sn

}的通项公式，进而得到S_n的通项公式，再由a_n与S_n的关系，得到数列{a_n}的通项公式
（III）由已知中S_n的通项公式，可得数列{b_n}的通项公式，进而利用裂项相消法得到答案．

解答：证明：（I）∵当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，且S_n（S_n-a_n）+2a_n=0
∴S_n[S_n-（S_n-S_n-1）]+2（S_n-S_n-1）=0
即S_n•S_n-1+2（S_n-S_n-1）=0
即

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

又∵S₁=a₁=1，故数列{

1

Sn

}是以1为首项，以

1

2

为公差的等差数列
（II）由（I）得：

1

Sn

=

n+1

2

∴S_n=

2

n+1

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

-2

n(n+1)

∵n=1时，

-2

n(n+1)

无意义
故a_n=

1，n=1 -2 n(n+1) ，n≥2

（III）∵bn=

Sn

n

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

）
∴T_n=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

点评：本题考查的知识点是等差关系的确定，数列的函数特性，数列求和，是数列问题的综合应用，熟练掌握a_n与S_n的关系是解答本题的关键．