Question

已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，

m

=（a，2b-c），

n

=（cosA，cosC），且

m

∥

n

．
（1）求∠A的度数；
（2）若△ABC是锐角三角形，求sinB+sinC的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理,平行向量与共线向量

专题：解三角形

分析：（1）利用向量共线定理、正弦定理、两角和差的正弦公式、诱导公式即可得出；
（2）利用三角形的内角和定理、两角和差的正弦公式、锐角三角形的定义、正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）∵

m

∥

n

，
∴（2b-c）cosA-acosC=0．
∴2sinBcosA-sinCcosA-sinAcosC=0，
∴2sinBcosA-sin（A+C）=0，
∴2sinBcosA-sinB=0，
∵B∈（0，π），∴sinB≠0．
∴cosA=

1

2

，
∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

．
（2）sinB+sinC=sinB+sin(

2π

3

-B)
=sinB+

3

2

cosB-

1

2

sinB
=

1

2

sinB+

3

2

cosB
=sin(B+

π

3

)．
∵△ABC是锐角三角形，∴

π

6

＜B＜

π

2

，
∴

π

3

＜B+

π

3

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin(B+

π

3

)≤1．
∴sinB+sinC的取值范围是(

1

2

，1]．

点评：本题考查了向量共线定理、正弦定理、两角和差的正弦公式、诱导公式、三角形的内角和定理、锐角三角形的定义、正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．