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【题目】已知椭圆过点,且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形.

Ⅰ)求椭圆的方程;

Ⅱ)过的直线交椭圆于两点,试问:是否存在一个定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)(2)存在一个定点满足条件.

【解析】

(Ⅰ)根据题意,分析可得,可以将椭圆的方程设为,将点的坐标代入方程,计算可得的值,即可得答案;
(Ⅱ)根据题意,按直线的位置关系分2种情况讨论,当轴垂直时,易得结论,当轴不垂直时,设出直线的方程,与椭圆的方程联立,结合根与系数的关系,分析可得结论,综合2种情况即可得答案.

Ⅰ)解:因为椭圆的两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形,

所以.所以椭圆的方程为.

又椭圆经过点,代入椭圆方程得.

所以. 故所求椭圆方程为.

Ⅱ)解:由已知动直线.

轴平行时,以为直径的圆的方程为

轴重合时,以为直径的圆的方程为.

所以两圆相切于点,即两圆只有一个公共点.

因此,所求点如果存在,只能是点.

以下证明以为直径的圆恒过点

轴垂直时,以为直径的圆过点

轴不垂直时,设.

.

在椭圆内部知成立.

,则.

所以

.

所以,即以为直径的圆恒过点.

所以存在一个定点满足条件.

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