【题目】已知椭圆过点,且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过的直线交椭圆于,两点,试问:是否存在一个定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)存在一个定点满足条件.
【解析】
(Ⅰ)根据题意,分析可得,可以将椭圆的方程设为,将点的坐标代入方程,计算可得的值,即可得答案;
(Ⅱ)根据题意,按直线的位置关系分2种情况讨论,当与轴垂直时,易得结论,当与轴不垂直时,设出直线的方程,与椭圆的方程联立,结合根与系数的关系,分析可得结论,综合2种情况即可得答案.
(Ⅰ)解:因为椭圆的两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形,
所以.所以椭圆的方程为.
又椭圆经过点,代入椭圆方程得.
所以. 故所求椭圆方程为.
(Ⅱ)解:由已知动直线过点.
当与轴平行时,以为直径的圆的方程为;
当与轴重合时,以为直径的圆的方程为.
所以两圆相切于点,即两圆只有一个公共点.
因此,所求点如果存在,只能是点.
以下证明以为直径的圆恒过点:
当与轴垂直时,以为直径的圆过点;
当与轴不垂直时,设.
由 得.
由在椭圆内部知成立.
设,则.
又,,
所以
.
所以,即以为直径的圆恒过点.
所以存在一个定点满足条件.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知在极坐标系中,点,,是线段的中点,以极点为原点,极轴为轴的正半轴,并在两坐标系中取相同的长度单位,建立平面直角坐标系,曲线的参数方程是(为参数).
(1)求点的直角坐标,并求曲线的普通方程;
(2)设直线过点交曲线于两点,求的值.
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【题目】某销售公司拟招聘一名产品推销员,有如下两种工资方案:
方案一:每月底薪2000元,每销售一件产品提成15元;
方案二:每月底薪3500元,月销售量不超过300件,没有提成,超过300件的部分每件提成30元.
(1)分别写出两种方案中推销员的月工资(单位:元)与月销售产品件数的函数关系式;
(2)从该销售公司随机选取一名推销员,对他(或她)过去两年的销售情况进行统计,得到如下统计表:
月销售产品件数 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 |
次数 | 2 | 4 | 9 | 5 | 4 |
把频率视为概率,分别求两种方案推销员的月工资超过11090元的概率.
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【题目】朱世杰是历史上最伟大的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人,每人日支米三升”。其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人,修筑堤坝的每人每天分发大米3升”,在该问题中第3天共分发大米( )
A. 192升 B. 213升 C. 234升 D. 255升
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【题目】已知奇函数.
(1)求实数的值,并画出函数的图象;
(2)若函数在区间上是增函数,结合函数的图象,求实数的取值范围;
(3)结合图象,求函数在区间上的最大值和最小值.
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【题目】下列说法正确的个数有_________
(1)已知变量和满足关系,则与正相关;(2)线性回归直线必过点 ;
(3)对于分类变量与的随机变量,越大说明“与有关系”的可信度越大
(4)在刻画回归模型的拟合效果时,残差平方和越小,相关指数的值越大,说明拟合的效果越好.
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