Question

若点O和点F（-2，0）分别是双曲线

x2

a2

-y2=1(a＞0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则

OP

•

FP

的取值范围为（　　）

• A、[3-2

  3

  ，+∞)
• B、[3+2

  3

  ，+∞)
• C、[-

  7

  4

  ，+∞)
• D、[

  7

  4

  ，+∞)

Answer 1

分析：先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得，设出点P，代入双曲线方程求得y₀的表达式，根据P，F，O的坐标表示出

OP

和

FP

，进而求得

OP

•

FP

的表达式，利用二次函数的性质求得其最小值，则

OP

•

FP

的取值范围可得．

解答：解：因为F（-2，0）是已知双曲线的左焦点，
所以a²+1=4，即a²=3，所以双曲线方程为

x2

3

-y2=1，
设点P（x₀，y₀），
则有

x02

3

-y02=1(x0≥

3

)，解得y02=

x02

3

-1(x0≥

3

)，
因为

FP

=(x0+2，y0)，

OP

=(x0，y0)，
所以

OP

•

FP

=x0(x0+2)+y02=x₀（x₀+2）+

x02

3

-1=

4x02

3

+2x0-1，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-

3

4

，
因为x0≥

3

，
所以当x0=

3

时，

OP

•

FP

取得最小值

4

3

×3+2

3

-1=3+2

3

，
故

OP

•

FP

的取值范围是[3+2

3

，+∞)，
故选B．

点评：本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．