解:对于(1)当a=3时,函数f(x)=
,函数f(x)的值域为{3}∪[0,+∞),故错;
(2)对于任意的x
1,x
2∈R,且x
1≠x
2,若
>0恒成立,说明曲线上任意两点连线的斜率大于0,对于x≤0 时,射线y=(3-a)x-a的斜率3-a>0,则a<3,又当a<0时,分段函数的图象如图所示,图象上有两点的连线的斜率小于0,不符合题意.故a∈[0,3); 正确;
对于(3)对于任意的x
1,x
2∈(0,+∞),且x
1≠x
2,
由于三次函数的图象是下凸的,如图,利用梯形的中位线性质,得:
>f(
);故(3)不正确;
(4)对于任意的x
1,x
2∈(0,+∞),且x
1≠x
2,由三次函数的图象可知,
对于其图象上任意两点的斜率的绝对值
>0,不等式
恒成立,则t≤0,则若不等式|f(x
1)-f(x
2)|>t|x
1-x
2|恒成立,则t的最大值为0.正确.
故答案为:(2)(4).
分析:对于(1)当特殊值a=3时,函数f(x)=
,函数f(x)的值域为{3}∪[0,+∞);(2)对于任意的x
1,x
2∈R,且x
1≠x
2,若
>0恒成立,说明曲线上任意两点连线的斜率大于0,得出a的取值范围;对于(3)对于任意的x
1,x
2∈(0,+∞),且x
1≠x
2,由于三次函数的图象是下凸的;(4)对于任意的x
1,x
2∈(0,+∞),且x
1≠x
2,由三次函数的图象可知,对于其图象上任意两点的斜率的绝对值
>0,利用不等式
恒成立求得t的最大值.
点评:本小题主要考查函数单调性的性质、命题的真假判断与应用、函数的最值及其几何意义等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.