Question

已知α，β，γ∈R，则

|sinα-sinβ|

+

|sinβ-sinγ|

+

|sinγ-sinα|

的最大值为

2+

2

．

Answer 1

分析：设a=sinα，b=sinβ，c=sinγ，则a，b，c∈[-1，1]，不妨设 a≥b≥c，则原式=

|a-b|

+

|b-c|

+

|a-c|

．分析可得要使原式取得最大值，必须有a=1，c=-1，b=0，由此原式的最大值．

解答：解：由于sinα、sinβ、sinγ∈[-1，1]，设a=sinα，b=sinβ，c=sinγ，则a，b，c∈[-1，1]．
不妨设 a≥b≥c，令f=

|a-b|

+

|b-c|

+

|a-c|

．
再采用固定变量法：
对于固定的b，c，f随a的增大而增大，所以当原式取最大值时，a一定取1，
对于固定的a，b，f随c的减小而增大，所以当原式取最大值时，c一定取-1．
此时，原式=

1-b

+

b+1

+

2

．
令g（b）=

1-b

+

b+1

（-1≤b≤1），∵g²（b）=2+2

1-b2

，
∴当b=0时，g²（b）最大，故g（b）的最大值为

2

．
综上可得，要使原式取得最大值，必须有a=1，c=-1，b=0，
故原式的最大值为 2+

2

，
故答案为 2+

2

．

点评：本题主要考查正弦函数的值域，求函数的最大值，体现了转化的数学思想，属于中档题．