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【题目】若椭圆的中心在原点,焦点在轴上,点是椭圆上的一点,轴上的射影恰为椭圆的左焦点,与中心的连线平行于右顶点与上顶点的连线,且左焦点与左顶点的距离等于,试求椭圆的离心率及其方程.

【答案】

【解析】

试题分析:根据条件可得点P的坐标,由与中心的连线平行于右顶点与上顶点的连线可得bc,故ace,又ac,可得ac,因此b,从而可得椭圆的标准方程。

试题解析:

设椭圆的标准方程为

,可得

y2b2(1-)=

y=±

不妨设点P的坐标为(-c),

由条件可得椭圆的右顶点A(a,0),上顶点B(0,b),

OPAB

kOPkAB

∴-=-

bc.

a2b2c2=2c2

ac

e

ac

解得ac

b

∴所求椭圆的离心率为,标准方程为=1.

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