Question

2．已知f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1，x=-$\frac{2}{3}$时取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）若x∈[-1，2]，f（x）取值范围．

Answer 1

分析 （1）因为函数在极值点处导数等于0，所以若f（x）在x=1与x=-$\frac{2}{3}$时，都取得极值，则f′（1）=0，f′（-$\frac{2}{3}$）=0，就可得到a，b的值．
（2）求出极值以及端点函数值，得到最值，推出结果即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，∵f（x）在x=1与x=-$\frac{2}{3}$时，都取得极值，
∴f′（1）=0，f′（-$\frac{2}{3}$）=0，即3×1+2a+b=0，3×（-$\frac{2}{3}$）2+2a（-$\frac{2}{3}$）+b=0
解得a=-$\frac{1}{2}$，b=-2．
（2）由题意可得：f（x）=x³$-\frac{1}{2}$x²-2x+c．
f（-1）=$\frac{1}{2}+c$，
f（1）=$-\frac{3}{2}$+c，
f（-$\frac{2}{3}$）=$\frac{22}{27}$+c，
f（2）=2+c，
x∈[-1，2]，f（x）取值范围：[$-\frac{3}{2}$+c，2+c]．

点评 本题主要考查了函数的导数与极值，单调区间之间的关系，属于导数的应用．