Question

3．如图，抛物线x²=4y在点$M（t，\;\frac{1}{4}{t^2}）\;（t＞0）$处的切线与x轴相交于点N，O、F分别为该抛物线的顶点、焦点．
（1）当t=2时，求切线MN的方程；
（2）当t∈（0，1]时，求四边形OFMN的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）当t=2时，求导数，确定切线斜率，即可求切线MN的方程；
（2）过M作MH⊥x轴于H点，则H（t，0）又F（0，1），则S_{四边形OFMN}=S_梯形OFMH-S_△MHN，即可求四边形OFMN的面积的最大值．

解答 解：（1）∵$y=\frac{1}{4}{x^2}∴y'=\frac{1}{2}x$…（2分），
∴y'|_x=2=1即k_MN=1…（3分）
又M（2，1）…（4分），
∴切线MN的方程是：y-1=1（x-2）…（5分）
即x-y-1=0…（6分）
（2）$y'\left|{_{x=t}=\frac{1}{2}t}\right.$，∴$MN的方程是：y-\frac{1}{4}{t^2}=\frac{1}{2}t（x-t）$    …（8分）
令$y=0得：x=\frac{1}{2}t∴N（\frac{1}{2}t，0）$…（9分）
过M作MH⊥x轴于H点，则H（t，0）又F（0，1）…（10分）
则S_{四边形OFMN}=S_梯形OFMH-S_△MHN=$\frac{{1+\frac{1}{4}{t^2}}}{2}•t-\frac{1}{2}（t-\frac{t}{2}）•\frac{1}{4}{t^2}$=$\frac{1}{16}{t^3}+\frac{1}{2}tt∈（{0，1}]$            …（12分）
∵$S'=\frac{3}{16}{t^2}+\frac{1}{2}＞0$，∴S（t）在（0，1]上为增函数                             …（13分）
∴${S_{最大}}=S（1）=\frac{1}{16}+\frac{1}{2}=\frac{9}{16}$…（14分）

点评 本题考查直线、抛物线等基础知识，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，抽象思维能力，考查数形结合思想，属于中档题．