Question

19．若函数f（x）=x²+（3-a）x+4在[1，4]上恒有零点，则实数a的取值范围是[7，8]．

Answer 1

分析 令f（x）=0，采用分离参数法解出a=x+$\frac{4}{x}$+3，则a的范围是右侧函数在[1，4]上的值域．

解答 解：令f（x）=0得x²+（3-a）x+4=0，则a=$\frac{{x}^{2}+3x+4}{x}$=x+$\frac{4}{x}$+3，
令g（x）=x+$\frac{4}{x}$+3，则g′（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$，
∴当x=2时，g′（x）=0，当1≤x＜2时，g′（x）＜0，当2＜x≤4时，g′（x）＞0．
∴g（x）在[1，2]上是减函数，在[2，4]上是增函数．
g（1）=8，g（2）=7，g（4）=8．∴g（x）的值域是[7，8]．
∵f（x）在[1，4]上恒有零点，∴a=x+$\frac{4}{x}$+3恒有解，
∴7≤a≤8．
故答案为[7，8]．

点评 本题考查了函数的单调性与值域，使用分离参数法解出a是解题关键．