Question

已知f(x)=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

-

1

2

（1）求函数的单调递增区间
（2）当x∈[0，

5π

3

]时，求函数f（x）的最大值和最小值，并指出相应x的取值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式与辅助角公式将f(x)=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

-

1

2

化为f(x)=sin(

x

2

+

π

6

)，可求函数的单调递增区间；
（2）由x∈[0，

5π

3

]可求(

x

2

+

π

6

)∈[

π

6

，π]，利用y=sinx的单调性即可求得f（x）的最大值和最小值及相应x的取值．

解答：解：（1）∵f(x)=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

-

1

2

=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

=sin(

x

2

+

π

6

)，
∴由2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)得：4kπ-

4π

3

≤x≤4kπ+

2π

3

，（k∈Z）
∴函数的单调递增区间为：[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

]；
（2）∵0≤x≤

5π

3

，
∴

π

6

≤ 

x

2

+

π

6

≤π，
∴0≤f（x）≤1，当x=

5π

3

时，f(x)min=0；当x=

2π

3

时，f(x)max=1．

点评：本题考查三角函数的性质，重点考查倍角公式，辅助角公式的应用，正弦函数的单调性与最值，属于中档题．