Question

（2012•邯郸模拟）已知函数f(x)=2cosx•sin(x-

π

6

)-

1

2

]．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c且c=

3

，角C满足f（C）=0，若sinB=2sinA，求a、b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先化简函数f（x），再求函数的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）先求C，再利用余弦定理、正弦定理，建立方程，即可求a、b的值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=2cosx•sin(x-

π

6

)-

1

2

=

3

sinxcosx-cos²x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1
=sin(2x-

π

6

)-1
∴f（x）的最小值是-2，最小正周期为T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）f（C）=sin(2C-

π

6

)-1=0，则sin(2C-

π

6

)=1
∵0＜C＜π，∴C=

π

3

∵sinB=2sinA，∴由正弦定理可得b=2a①
∵c=

3

，∴由余弦定理可得c²=a²+b²-ab=3②
由①②可得a=1，b=2．

点评：本题考查三角函数的化简，三角函数的性质，考查余弦定理、正弦定理的运用，属于中档题．