Question

已知a、b、c∈R,函数f(x)=ax²+bx+c,g(x)=ax+b.当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1.

(1)求证:|c|≤1;

(2)求证:当-1≤x≤1时,|g(x)|≤2;

(3)设a＞0,当-1≤x≤1时,g(x)的最大值为2,求f(x).

Answer 1

(1)证明:由题意,|f(0)|≤1,即|c|≤1.

(2)证明:当a=0时,g(x)=b是常数函数.

当a≠0时,g(x)=ax+b在x∈［-1,1］上单调.

无论哪种情形,只需证明|g(1)|≤2,|g(-1)|≤2.

∵|g(1)|=|a+b|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤1+1=2,

|g(-1)|=|a-b|=|f(-1)-c|≤|f(-1)|+|c|≤2,

∴-1≤x≤1时,|g(x)|≤2.

(3)解析:∵a＞0,∴g(x)在x∈［-1,1］上单调递增.

∴g(x)_max=g(1)=a+b=2.

∴c=f(1)-g(1)=f(1)-2.

∵|f(1)|≤1,∴f(1)≤1.

∴c≤1-2=-1,即c≤-1.

又|c|≤1,∴-1≤c≤1.

∴c=-1.

又在x∈［-1,1］上,-1≤f(x)≤1,

即f(0)=c=-1≤f(x),

∴f(0)是f(x)在x∈［-1,1］上的最小值.故对称轴=0.

∴b=0.结合a+b=2得a=2.

总之,f(x)=2x²-1.