【题目】如图是正四面体的平面展开图,G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点,在这个正四面体中,
①GH与EF平行;②BD与MN为异面直线;③GH与MN成60°角;④DE与MN垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是
【答案】②③④
【解析】解:将正四面体的平面展开图复原为正四面体A(B、C)﹣DEF,如图:
对于①,G、H分别为DE、BE的中点,则GH∥AD,而AD与EF异面,故GH与EF不平行,故①错误;
对于②,BD与MN为异面直线,正确(假设BD与MN共面,则A、D、E、F四点共面,与ADEF为正四面体矛盾,故假设不成立,故BD与MN异面);
对于③,依题意,GH∥AD,MN∥AF,∠DAF=60°,故GH与MN成60°角,故③正确;
对于④,连接GF,A点在平面DEF的射影A1在GF上,∴DE⊥平面AGF,DE⊥AF,
而AF∥MN,∴DE与MN垂直,故④正确.
综上所述,正确命题的序号是②③④,
所以答案是:②③④.
【考点精析】认真审题,首先需要了解棱锥的结构特征(侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方).
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【题目】设直线l:3x+4y+4=0,圆C:(x﹣2)2+y2=r2(r>0),若圆C上存在两点P,Q,直线l上存在一点M,使得∠PMQ=90°,则r的取值范围是 .
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【题目】已知A、B、C为△ABC的三内角,且其对边分别为a、b、c,若acosC+ccosA=﹣2bcosA.
(1)求角A的值;
(2)若a=2 ,b+c=4,求△ABC的面积.
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【题目】一同学在电脑中打出如下若干个圆:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…,若依此规律继续下去,得到一系列的圆,则在前2012个圆中共有●的个数是( )
A.61
B.62
C.63
D.64
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【题目】已知函数, .
(1)当时,求函数的单调增区间;
(2)设函数, .若函数的最小值是,求的值;
(3)若函数, 的定义域都是,对于函数的图象上的任意一点,在函数的图象上都存在一点,使得,其中是自然对数的底数, 为坐标原点.求的取值范围.
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【题目】设集合A={x|﹣1≤x≤2},B={x|x2﹣(2m+1)x+2m<0}.
(1)当m< 时,把集合B用区间表达;
(2)若A∪B=A,求实数m的取值范围.
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