Question

（2012•株洲模拟）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：x-

3

y=4相切．
（1）求圆O的方程；
（2）若圆O上有两点M、N关于直线x+2y=0对称，且|MN|=2

3

，求直线MN的方程；
（3）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求

PA

•

PB

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用点到直线的距离公式求出半径r，从而求得圆O的方程．
（2）用点斜式设出MN的方程为y=2x+b，由条件求出圆心O到直线MN的距离等于

r2-( MN 2 )2

=1，由1=

|0-0+b|

5

，
求出b的值，即可得到MN的方程．
（3）由题意可得|PA|•|PB|=|PO|² ，设点P（x，y），代入化简可得x²=y²+2．由点P在圆内可得 x²+y²＜4，可得0≤y²＜1．化简

PA

•

PB

=2（y²-1），从而求得

PA

•

PB

的取值范围．

解答：解：（1）半径r=

|0-0-4|

1+3

=2，故圆O的方程为 x²+y²=4．
（2）∵圆O上有两点M、N关于直线x+2y=0对称，故MN的斜率等于直线x+2y=0斜率的负倒数，等于2，
设MN的方程为y=2x+b，即2x-y+b=0．
由弦长公式可得，圆心O到直线MN的距离等于

r2-( MN 2 )2

=1．
由点到直线的距离公式可得 1=

|0-0+b|

5

，b=±

5

，故MN的方程为2x-y±

5

=0．
（3）圆O与x轴相交于A（-2，0）、B（2，0）两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，
∴|PA|•|PB|=|PO|² ，设点P（x，y），
 则有

(x+2)2+y2

•

(x-2)2+y2

=x²+y²，化简可得 x²=y²+2．
由点P在圆内可得 x²+y²＜4，故有 0≤y²＜1．
∵

PA

•

PB

=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²+y²-4=2（y²-1）∈[-2，0）．
即

PA

•

PB

的取值范围是[-2，0）．

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，直线和圆的位置关系，两个向量的数量积的定义，属于中档题．