Question

在直角坐标系内，△ABC的两个顶点分别为A(-1，0)，B(1，0)，坐标平面内两点G，M同时满足以下条件：①++=；②||=||=||；③∥.

(Ⅰ)求△ABC的顶点C的轨迹方程；

(Ⅱ)过点P(2，0)的直线l与△ABC的顶点C的轨迹交于E，F两点，求·的取值范围.

Answer 1

解：(Ⅰ)设点C(x，y)、G(x₀，y₀)，则++=用坐标表示为(x-3x₀，y-3y₀)=0，从而x=3x₀，y=3y₀，G为△ABC的重心；由||=||和∥可知，点M的坐标为(0，y₀)，结合||=||可得1+y₀²=x²+(y-y₀)²，整理即x²+=1，由于C(x，y)不能与AB共线(否则不能构成三角形)，故顶点C的轨迹方程是x²+=1(y≠0)；

(Ⅱ)直线l的斜率为k(k≠0)，则方程为y=k(x-2)，与x²+=1联立可得(3+k²)x²-4k²x+4k²-3=0，其判别式Δ=36(1-k²)＞0，所以-1＜k＜1(k≠0)，设E(x₁，y₁)，F(x₂，y₂)，由韦达定理得x₁+x₂=，x₁x₂=，y₁=k(x₁-2)，从而·=(x₁-2)(x₂-2)+y₁y₂=(1+k²)［x₁x₂-2(x₁+x₂)+4］=9(1-)，因为0＜k²＜1，则·=9(1-)∈(3，)，·的取值范围是(3，).