Question

已知在正项数列{a_n}中，a₁=1，前n项的和S_n满足：2Sn=an+

1

an

．则此数列的通项公式a_n=

n

-

n-1

(n∈N*)

．

Answer 1

分析：根据题目给出的递推式，取n=n+1时得到另外一个式子，两式作差后两边平方运算，得到(an+12+

1

an+12

)-(an2+

1

an2

)=4，构造数列设bn=an2+

1

an2

，则数列{b_n}为等差数列，写出等差数列的通项公式，把b_n代入后可求a_n，结合a2=

2

-1可对求出的a_n进行取舍．

解答：解：∵2Sn=an+

1

an

①
∴2Sn+1=an+1+

1

an+1

②
②-①得：2an+1=an+1+

1

an+1

-an-

1

an

，
所以an+

1

an

=

1

an+1

-an+1，
两边平方得：an2+

1

an2

+2=

1

an+12

+an+12-2，
即(an+12+

1

an+12

)-(an2+

1

an2

)=4
设bn=an2+

1

an2

，则b_n+1-b_n=4，
而b1=a12+

1

a12

=1+1=2．
所以数列{b_n}是首项为2，公差为4的等差数列，b_n=2+4（n-1）=4n-2．
则an2+

1

an2

=4n-2，即(an+

1

an

)2=4n，又a_n＞0＞0，故an+

1

an

=2

n

，
从而an2-2

n

an+1=0，解得：an=

n

±

n-1

，
而a₁=1，由2（a₁+a₂）=a2+

1

a2

，即a22+2a2-1=0，解得a₂=-1±

2

，
取a2=

2

-1＞0，则只有an=

n

-

n-1

符合．
所以，此数列的通项公式an=

n

-

n-1

．
故答案为有an=

n

-

n-1

（n∈N^*）．

点评：本题考查了数列的概念及简单表示法，考查了利用递推式求数列的通项公式，在递推式中替换n=n+1（或n-1）得另外一个递推式，两式联立求解是解答此类问题常用的方法，解答该题的关键是两式作差后两边平方，然后构造函数，这也是该题的难点所在，该题是中档题．