Question

直角△POB中，∠PBO=90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点．若弧AB等分△POB的面积，∠AOB=α弧度，给出下列关系式：（1）tanα=2α（2）tanα＞2sinα（3）tanα＞sin2α（4）sinα=2cosα
（5）sin2α=2α（1+cos2α）则正确的个数为（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：（1）根据题意设出扇形的半径，表示出扇形的面积，再计算出直角三角形的面积，结合条件可得tanα=2α．
（2）（3）（5）分别对结论进行化简，再结合（1）的正确结论进而证明此结论正确．
（4）假设此结论正确，再结合（1）得到矛盾，进而证明sinα=2cosα错误．

解答：解：（1）设扇形的半径为r，由扇形的面积公式可得：扇形的面积为

1

2

 α r²，
在Rt△POB中，PB=rtanα，所以△POB的面积为

1

2

r×rtanα，
由题意得：

1

2

r×rtanα=2×

1

2

 α r²，即tanα=2α．
所以（1）正确．
（2）由题意可得：tanα＞2sinα整理可得cosα＜

1

2

，
因为S_△OAB＜S_扇形=

1

2

S△POB，
所以OA＜

1

2

OP，即OB＜

1

2

OP，
所以cosα=

OB

OP

＜

1

2

，即tanα＞2sinα．
所以（2）正确．
（3）由题意可得：tanα＞sin2α化简整理可得cos²α＜

1

2

，
由（2）可得cosα＜

1

2

，所以cos²α＜

1

2

一定成立，
所以（3）正确．
（4）若sinα=2cosα则tanα=2，所以由（1）可得α=1，即得到tanα=2，
与tan1≠2矛盾，所以sinα=2cosα错误．
所以（4）错误．
（5）由sin2α=2α（1+cos2α）结合二倍角公式化简可得：2α=

sin2α

1+cos2α

=

2sinαcosα

1+2cos2α-1

=tanα，
所以由（1）可得sin2α=2α（1+cos2α）正确．
所以（5）正确．
故选D．

点评：本题考查扇形的面积公式，以及二倍角公式、余弦函数性质等知识点，此题综合性较强，属于中档题．