Question

已知半椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(x≥0)与半椭圆

y2

b2

+

x2

c2

=1(x≤0)组成的曲线称为“果圆”，其中a²=b²+c²，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F₀，F₁，F₂是相应椭圆的焦点，A₁，A₂和B₁，B₂是“果圆”与x，y轴的交点，
（1）若三角形F₀F₁F₂是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若|A₁A|＞|B₁B|，求

b

a

的取值范围；
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为F0(c，0)，?F1(0，-

b2-c2

)，?F2(0，

b2-c2

)，
所以?|F0F2|=

(b2-c2)+c2

=b=1，|F1F2|=2

b2-c2

=1，
由此可知“果圆”方程为

4

7

x2+y2=1?(x≥0)，y2+

4

3

x2=1(x≤0)．
（2）由题意，得

a2-b2

＞2b-a，所以a²-b²＞（2b-a）²，得

b

a

＜

4

5

．再由

b2

a2

＞

1

2

可知

b

a

的取值范围．
（3）设“果圆”C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1?(x≥0)，

y2

b2

+

x2

c2

=1?(x≤0)．记平行弦的斜率为k．当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当k＞0时，以k为斜率过B₁的直线l与半椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1?(x≥0)的交点是(

2ka2b

k2a2+b2

，

k2a2b-b3

k2a2+b2

)．由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线y=-

b2

ka2

x上，即不在某一椭圆上．
当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．

解答：解：（1）∵F0(c，0)，F1(0，-

b2-c2

)，F2(0，

b2-c2

)，
∴|F0F2|=

(b2-c2)+c2

=b=1，|F1F2|=2

b2-c2

=1，
于是c2=

3

4

，a2=b2+c2=

7

4

，
所求“果圆”方程为

4

7

x2+y2=1(x≥0)，y2+

4

3

x2=1(x≤0)

（2）由题意，得a+c＞2b，即

a2-b2

＞2b-a．
∵（2b）²＞b²+c²=a²，∴a²-b²＞（2b-a）²，得

b

a

＜

4

5

．
又b²＞c²=a²-b²，
∴

b2

a2

＞

1

2

．∴

b

a

∈(

2

2

，

4

5

)．

（3）设“果圆”C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(x≥0)，

y2

b2

+

x2

c2

=1(x≤0)．
记平行弦的斜率为k．
当k=0时，直线y=t（-b≤t≤b）与半椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(x≥0)的交点是P(a

1- t2 b2

，t)，
与半椭圆

y2

b2

+

x2

c2

=1(x≤0)的交点是Q(-c

1- t2 b2

，t)．
∴P，Q的中点M（x，y）满足

x= a-c 2 • 1- t2 b2 y=t

得

x2

( a-c 2 )2

+

y2

b2

=1．
∵a＜2b，∴(

a-c

2

)2-b2=

a-c-2b

2

•

a-c+2b

2

≠0．
综上所述，当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．
当k＞0时，以k为斜率过B₁的直线l与半椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(x≥0)的交点是(

2ka2b

k2a2+b2

，

k2a2b-b3

k2a2+b2

)．
由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线y=-

b2

ka2

x上，即不在某一椭圆上．
当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．