Question

（1）求函数的值域和单调区间．
（2）已知-1≤x≤2，求函数f（x）=3+2•3^x+1-9^x的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）设函数=，
t=x²-2x-1=（x-1）²-2≥-2，
∴函数的值域是（0，9]；
在函数中，
∵，t=x²-2x-1的对称轴是x=1，增区间是[1，+∞），减区间是（-∞，1]，
∴函数的增区间是（-∞，1]，减区间是[1，+∞）．
（2）∵-1≤x≤2，∴，
∵f（x）=3+2•3^x+1-9^x
=3+6•3^x-（3^x）²
=-（3^x-3）²+12，
∴3^x=3时，f（x）取最大值12，
3^x=9时，f（x）取最小值-24．
分析：（1）设函数=，t=x²-2x-1=（x-1）²-2≥-2，由此能求出函数的值域；在函数中，，t=x²-2x-1的对称轴是x=1，由此能求出函数的单调区间．
（2）由-1≤x≤2，知，由f（x）=3+2•3^x+1-9=-（3^x-3）²+12，能求出函数f（x）=3+2•3^x+1-9^x的最大值和最小值．
点评：本题考查指数型复合函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．