Question

为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架三角形支架形状如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米
（1）当BC长度为2米时，AC为多少米？
（2）为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求BC长度为多少米时，AC长度最短，最短为多少米？

Answer 1

分析：（1）BC的长度为2米，AC的长度为x米，依据题意可表示出AB的长度，然后代入到余弦定理中求得x的值即可．
（2）设BC的长度为x米，AC的长度为y米，依据题意可表示出AB的长度，然后代入到余弦定理中求得x和y的关系式，利用基本不等式求得y的最小值，并求得取等号时x的值．．

解答：解：（1）由题意BC=2，设AC=x，则AB=x-0.5，
在△ABC中，依余弦定理得：AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos∠ACB
即（x-0.5）²=x²+2²-2×2×x×

1

2

，
解得x=

15

4

．
当BC长度为2米时，AC为

15

4

米．
（2）设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度
为（y-0.5）米，
在△ABC中，依余弦定理得：AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos∠ACB
即（y-0.5）²=y²+x²-2yx×

1

2

，化简，得y（x-1）=x²-

1

4

∵x＞1，
∴2-1＞0
因此y=

x2- 1 4

x-1

，
y=(x-1)+

3

4(x-1)

+2≥

3

+2
当且仅当x-1=

3

4(x-1)

时，取“=”号，
即x=1+

3

2

时，y有最小值2+

3

．
答：AC最短为2+

3

米，BC长度为1+

3

2

．

点评：本题主要考查了解三角形的实际应用以及基本不等式求最值问题．考查了考生利用数学模型解决实际问题的能力．